Faiz, paranın kirasıdır. Değerlemeci faizi iki yerde kullanır: geliri bugüne indirgerken (iskonto) ve piyasadaki faiz oranlarını yorumlarken (DİBS, mevduat, kredi). Bu ders dört ayrımı netleştirir: basit–bileşik, nominal–efektif, yıllık–dönemsel ve nominal–reel.
Basit ve Bileşik Faiz (Simple vs. Compound Interest)
Basit faizde getiri her dönem yalnızca anaparaya işler; bileşik faizde birikmiş faizin üzerine de işler:
100.000 TL, yıllık %40, 5 yıl: basit faizle 100.000 × (1 + 0,40×5) = 300.000 TL; bileşik faizle 100.000 × 1,40⁵ = 537.824 TL. Kısa vadede fark küçüktür, süre uzadıkça uçurum açılır. Finansal analizde aksi belirtilmedikçe bileşik faiz varsayılır — iskonto formüllerindeki (1+r)ⁿ ifadesi bileşik mantığın kendisidir.
Bileşik varsayımının iktisadi gerekçesi yeniden yatırımdır: dönem sonunda elde edilen faiz atıl durmaz, aynı piyasada tekrar çalıştırılır. Basit faiz ancak faizin her dönem çekilip harcandığı durumu tarif eder; bir yatırımın fırsat maliyetini ölçerken bu varsayım gerçekçi değildir. Değerleme tarafında sonuç nettir: emsal fiyatını bugüne endekslerken, kira akışını indirgerken, geçmiş bir sözleşme bedelini güncellerken hep (1+r)ⁿ çalışır.
Nominal ve Efektif Oran (APR vs. EAR)
Bankalar oranı çoğu zaman yıllık söyler ama faizi ay bazında işletir. Yıllık %48 "nominal" oran, aylık %4 demektir; ama aylık bileşke yıl sonunda %48'den fazlasını üretir:
(1 + 0,48/12)¹² − 1 = 1,04¹² − 1 = 1,601 − 1 = %60,1. Yani "yıllık %48, aylık eşit taksit" diyen kredinin efektif yıllık maliyeti %60'tır. Kredi tekliflerini veya mevduat getirilerini karşılaştırırken daima efektif orana çevirin; değerlemede kullanılan iskonto oranları da yıllık efektif orandır.
Bileşkeleme sıklığı arttıkça efektif oran yükselir, ama sınırsızca değil. Aynı %48 nominal oranın farklı sıklıklardaki karşılığı şöyledir:
| Bileşkeleme | m | Dönemsel oran | Efektif yıllık |
|---|---|---|---|
| Yıllık | 1 | %48,00 | %48,00 |
| 6 aylık | 2 | %24,00 | %53,76 |
| 3 aylık | 4 | %12,00 | %57,35 |
| Aylık | 12 | %4,00 | %60,10 |
| Günlük | 365 | %0,1315 | %61,56 |
| Sürekli | ∞ | — | %61,61 |
Tablo iki şey söyler. Birincisi, sıçramanın büyük kısmı ilk bölünmelerde gerçekleşir: yıllıktan aylığa geçmek 12 puan ekler, aylıktan günlüğe geçmek yalnızca 1,5 puan. İkincisi, sıklık sonsuza giderken efektif oran bir tavana yaslanır — buna aşağıda döneceğiz.
Çevrim çoğu zaman ters yönde gerekir: yıllık efektif %42'lik bir iskonto oranıyla aylık nakit akışlı bir DCF kurulacaktır. Sahada en sık görülen refleks 42'yi 12'ye bölmektir: aylık %3,5. Bu yanlıştır, çünkü %3,5'in aylık bileşkesi 1,035¹² − 1 = %51,1 eder — analize niyet edilenden 9 puan yüksek bir oran sokulmuş olur.
Doğru çevrim kök almaktır: aylık oran = (1,42)^(1/12) − 1 = %2,97. Sağlama: 1,0297¹² ≈ 1,42.
Etki küçük değildir. Aylık 100.000 TL'lik 60 aylık bir akışın bugünkü değeri %2,97 ile 2.788.280 TL, %3,5 ile 2.494.473 TL çıkar: aynı orandan söz ettiğini sanan iki analist arasında %10,5 değer farkı. Kural tek cümledir: yıllıktan döneme inerken bölme değil kök, dönemden yıllığa çıkarken çarpma değil üs.
Derinlemesine: Bileşik Büyümenin Anatomisi
(1+r)ⁿ formülü bir varsayım değil, tek dönemlik büyümenin art arda uygulanmasıdır. Bir dönem sonunda bakiye (1+r) katına çıkar; ikinci dönem bu yeni bakiyenin üzerine işler: (1+r) × (1+r) = 1 + 2r + r². Buradaki r² terimi "faizin faizi"dir — ilk dönemin faizinin ikinci dönemde kazandığıdır. İki dönemde önemsiz görünen bu çapraz terimler, üs büyüdükçe toplamın ana gövdesi hâline gelir; Örnek 1'deki 300.000'e karşı 537.824 uçurumunun tamamı bu terimlerden doğar. Basit faiz, açılımdan yalnızca 1 + n×r kısmını alıp gerisini atan kesik bir yaklaşıklıktır.
Bileşkeleme sıklığındaki tavanın kaynağı da aynı açılımdır. Dönem sayısı m sonsuza giderken (1 + r/m)ᵐ ifadesi eʳ değerine yakınsar; %48 nominal oran hangi sıklıkla bölünürse bölünsün e^0,48 − 1 = %61,61'i aşamaz. Tablodaki doygunluk bunun görüntüsüdür: bölünme inceldikçe her yeni dilimin ekleyebildiği "faizin faizi" küçülür.
İki sınır durumu daha değerlemeci için anlamlıdır. Birincisi, n büyürken iskonto çarpanı (1+r)⁻ⁿ sıfıra koşar ve yüksek oranlı ortamda bu koşu çok hızlıdır: %45 iskonto oranında 10 yıl sonraki 1 TL'nin bugünkü değeri 1/1,45¹⁰ ≈ 0,024 TL'dir. Yüksek enflasyonlu ekonomide DCF fiilen "kısa görüşlüdür" — değerin neredeyse tamamı ilk birkaç yıldan ve uç değerden gelir; uzak yılların projeksiyon hassasiyetine harcanan emek sonuca işlemez. İkincisi, oranlar küçükken (1+a)(1+b) ≈ 1 + a + b yaklaşıklığı geçerlidir, çünkü atılan çapraz terim a×b önemsizdir. Fisher denkleminde kaba çıkarmanın kökü budur: %6 nominal – %2 enflasyon dünyasında hata 0,08 puandır ve kimse fark etmez; %48 – %30 dünyasında atılan terim 4 puanı aşar. Aynı yaklaşıklık düşük enflasyonda zararsız, bizim ortamımızda ağır hasarlıdır.
Pratik bir yan ürün: 72 kuralı. Bir tutarın ikiye katlanma süresi yaklaşık 72/orandır. %8'de kural neredeyse tamdır (72/8 = 9,0 yıl; gerçek değer 9,01). %40'ta ise 1,8 yıl der; gerçek süre ln2/ln1,40 = 2,06 yıldır. Kural düşük oranlar için türetilmiştir; Türkiye düzeyindeki oranlarda kaba bir pusula olarak kalır, hesap yerine geçmez.
Nominal ve Reel Faiz — Fisher Denklemi
Nominal oran (nominal rate), enflasyonu da içeren gözlenen orandır; reel oran (real rate) enflasyondan arındırılmış satın alma gücü getirisidir. İlişki, Fisher denklemiyle kurulur:
Denklemin sezgisi satın alma gücüdür: bir yılda paranız (1 + nominal) katına çıkar, ama alacağınız mal sepeti de (1 + enflasyon) katına pahalanır. Gerçekte kaç sepet daha alabildiğiniz iki büyümenin oranıdır — bu yüzden ilişki toplama değil çarpma, çözümü de çıkarma değil bölmedir.
Mevduat %48, beklenen enflasyon %30 olsun. Reel getiri %18 değildir:
r_reel = 1,48 / 1,30 − 1 = %13,8
Kaba çıkarma (48 − 30 = 18) düşük enflasyonda idare eder ama Türkiye düzeyindeki enflasyonda 4+ puan yanıltır. Bölme biçimini alışkanlık edinin.
Aynı denklem para birimleri arasında oran çevirmenin de temelidir: USD bazlı bir getiri, iki ülkenin enflasyon farkıyla TL'ye taşınır. Sitedeki İskonto Oranı hesaplayıcısının TRY sonucu tam olarak bu çevrimle üretilir.
Nominal–reel ayrımının en pahalı ihlali oran tarafında değil, oran ile nakit akışının eşleşmesinde yaşanır. Bir ofis katının yıllık kirası 1.000.000 TL olsun; 5 yıllık DCF, %45 nominal TL iskonto oranıyla kurulacaktır. Analist projeksiyon zahmetine girmez ve kirayı beş yıl boyunca 1.000.000 TL sabit yazarsa:
Yanlış BD = 1.000.000 × [1 − 1,45⁻⁵] / 0,45 = 1.875.527 TL
Oysa %45'lik nominal oranın içinde %30 dolayında enflasyon beklentisi vardır; kirayı sabit yazmak, "kira reel olarak her yıl %30 eriyecek" demektir — kimsenin savunmadığı örtük bir varsayım. Tutarlı kurgu iki yoldan da aynı yere çıkar:
Nominal yol: kira her yıl %30 artar (1.000.000; 1.300.000; 1.690.000; …), %45 ile indirgenir → BD = 2.804.905 TL.
Reel yol: nominal seri enflasyondan arındırılır — 1.000.000; 1.300.000; 1.690.000; … akışının reel karşılığı her yıl sabit 1.000.000/1,30 ≈ 769.231 TL'dir — oran da Fisher ile reelleştirilir (1,45/1,30 − 1 = %11,54) ve akış bu oranla indirgenir → BD yine 2.804.905 TL.
Karışık kurgu mülkü %33 eksik göstermiştir. Kural: nominal akış nominal oranla, reel akış reel oranla indirgenir; iki tutarlı yol daima aynı değeri verir, melez yol daima yanlıştır.
Türkiye Pratiğinde
Türkiye piyasasında gözlenen her oran — mevduat, DİBS, konut kredisi — TL cinsinden ve nominaldir; reel oran hiçbir ekranda yazmaz, daima hesaplanır. Hesap için gereken enflasyon da tek bir sayı değildir: geçmişe bakan (gerçekleşen) enflasyon ile ileriye bakan beklenti ayrışabilir ve reel getiri hangisiyle arındırdığınıza göre değişir. İskonto oranı geleceğe dönük bir araç olduğundan doğru eş, beklenen enflasyondur; TCMB'nin yayımladığı beklenti verileri bu amaçla sahada en çok başvurulan dayanaktır. Dezenflasyon dönemlerinde gerçekleşen ile beklenen arasındaki makas büyür ve "hangi enflasyon" sorusunun cevabı raporun sonucunu görünür biçimde oynatır.
Kira tarafında nominal–reel ayrımı sözleşme diline gömülüdür. Konut ve işyeri kiralarında endekse bağlı artış yaygındır; bu, nakit akışını kabaca enflasyona endeksler ve DCF'te "reel sabit kira" varsayımına zemin oluşturur. Ancak zemin pürüzsüz değildir: artışın tavanla sınırlandığı dönemlerde sözleşme kirası piyasa kirasının altında donar ve akış fiilen nominal yapışkanlık kazanır; endeksin gecikmeli işlemesi de yüksek enflasyonda reel erime yaratır. Ticari sözleşmelerde görülen döviz bazlı bedeller ise ayrı bir eşleşme sorunu doğurur: dövizli akış TL nominal oranla değil, o para birimine uygun oranla indirgenmelidir. Para birimi, endeksleme rejimi ve oran üçlüsünün tutarlılığı, yüksek enflasyonlu ortamda gelir yaklaşımının bel kemiğidir.
Negatif reel faiz dönemleri ayrıca dikkat ister. Mevduat oranının enflasyonun altında kaldığı yıllarda tasarruf, değerini korumak için gayrimenkule yönelir; fiyatlar nominal olarak hızla yükselir. Bu yükselişin bir bölümü reel değer artışı değil parasal yanılsamadır — emsal karşılaştırmasında geçmiş satışları bugüne endekslemeden okumak, artışı olduğundan büyük göstermenin en kısa yoludur. Değerlemeci gözlenen fiyat hareketini daima enflasyondan arındırıp yorumlamalıdır.
Rapor yazımına yansıması şudur: kullanılan her oran üç etiketle sunulmalıdır — para birimi (TL mi USD mi), nominal mi reel mi, hangi bileşkelemeyle yıllık (efektif) ifade edildiği. "İskonto oranı %45 alınmıştır" cümlesi tek başına denetlenebilir bir ifade değildir; SPK düzenlemelerine tabi raporlarda oranın bileşenleriyle gerekçelendirilmesi beklenir ve bu üç etiket, gerekçelendirmenin asgari çerçevesidir. Aynı açıklık, raporu okuyan kredi tahsis birimlerinin ve meslektaş denetiminin oranı kendi verileriyle sınayabilmesinin de ön koşuludur.
Türkiye'de 10 yıllık DİBS ~%31 iken ABD tahvili ~%4,5'tir. Aradaki fark "Türk tahvili daha karlı" demek değildir; farkın büyük kısmı enflasyon beklentisi, kalanı ülke riskidir. Fisher denklemini bilen değerlemeci, iki oranı aynı düzleme çevirip karşılaştırabilir — ve TL DİBS üzerine bir de ülke risk primi eklemenin aynı şeyi iki kez saymak olduğunu görür.
Aylık oranı 12 ile çarpmak, yıllığı 12'ye bölmek. Her iki yönde de bileşke atlanır; doğrusu üs almak ve kök almaktır. Aylık DCF kuran analistin %42/12 refleksi, farkında olmadan %51'lik oranla çalışmak demektir.
Sabit kiraya nominal oran uygulamak. Oranın içindeki enflasyon beklentisi ile akışın örtük enflasyon varsayımı çelişir; yukarıdaki örnekte fark %33'tür. Nominal akış nominal oranla, reel akış reel oranla eşleşir.
Reel oranı çıkarma ile bulmak. Nominal − enflasyon, çapraz terimi atar; %30 enflasyonda 4 puanı aşan bir şişirmedir.
Farklı bileşkelemedeki oranları yan yana koymak. 32 gün vadeli mevduatın basit yıllığı ile DİBS'in bileşik getirisi aynı cetvelle ölçülmez; karşılaştırma öncesi hepsi yıllık efektife çevrilir.
Vergi düzlemini karıştırmak. Stopaj sonrası mevduat getirisini vergi öncesi iskonto oranıyla kıyaslamak, iki farklı büyüklüğü aynı sanmaktır; karşılaştırmanın iki ayağı da aynı vergi düzleminde olmalıdır.
Endekslemede basit orantı kullanmak. Geçmiş emsali bugüne taşırken oranı süreyle çarpmak bileşkeyi atlar; 1,5 yıl gibi kısa sürede bile fark yüz binlerce liraya ulaşır (aşağıdaki alıştırmaya bakınız).
Çözümlü Alıştırma
Soru 1. Bir banka işletme kredisini "aylık %3,5, yıllık %42" diye fiyatlıyor. (a) Kredinin efektif yıllık maliyeti nedir? (b) Beklenen enflasyon %35 ise reel maliyet nedir?
Çözümü göster
(a) "Yıllık %42" nominal etikettir; maliyet aylık bileşkeden gelir: 1,035¹² − 1 = 1,5111 − 1 = %51,11. Banka dilindeki %42 ile gerçek maliyet arasında 9 puandan fazla fark vardır.
(b) Reel maliyet Fisher ile bulunur ve efektif oran üzerinden hesaplanır (nominal etiket üzerinden değil): r_reel = 1,5111 / 1,35 − 1 = %11,93. Kaba çıkarma 51 − 35 = 16 derdi; 4 puan şişkin. Enflasyonun üzerinde yaklaşık 12 puanlık reel maliyet, bu kredinin ancak reel getirisi %12'yi aşan bir işe yatırılırsa anlamlı olduğunu söyler.
Soru 2. Değerlemesi yapılan arsanın en iyi emsali 18 ay önce 9.500.000 TL'ye satılmıştır. Bölgedeki arsa fiyatlarının yıllık %38 arttığı tespit edilmiştir. Emsalin bugüne endekslenmiş eşdeğeri nedir? Basit orantıyla (%38 × 1,5) endeksleyen bir meslektaşın sonucu ne kadar sapar?
Çözümü göster
18 ay = 1,5 yıl. Endeksleme bileşik yapılır; kesirli üs kullanmak serbesttir:
9.500.000 × 1,38^1,5 = 9.500.000 × 1,6211 = 15.400.763 TL (yaklaşık 15,4 milyon).
Basit orantı: 9.500.000 × (1 + 0,38 × 1,5) = 9.500.000 × 1,57 = 14.915.000 TL. Sapma yaklaşık 486.000 TL, yani %3,2 eksik. Tek emsalde %3 masum görünebilir; ama bu hata sistematiktir — her emsalde aynı yönde tekrarlanır ve süre uzadıkça büyür (3 yıllık bir emsalde sapma %18'i geçer). Ayrıca %38'in kendisinin nominal bir artış olduğu not edilmelidir: endekslenmiş değer, emsalin bugünkü nominal karşılığıdır, reel bir değer artışı kanıtı değildir.
Özet: Analizde bileşik faiz esastır; endeksleme dahil her güncelleme (1+r)ⁿ ile yapılır. Oranları karşılaştırmadan önce efektif yıllığa çevirin; yıllıktan döneme inerken bölme değil kök, dönemden yıllığa çıkarken çarpma değil üs kullanılır. Nominal − enflasyon ≠ reel; doğrusu (1+nominal)/(1+enflasyon) − 1'dir. Oran ile nakit akışı aynı düzlemde eşleşmelidir: nominal akışa nominal oran, reel akışa reel oran, dövizli akışa kendi para biriminin oranı. Raporda her oran üç etiketle yazılır: para birimi, nominal/reel, yıllık efektif. Bu kurallar, yüksek enflasyonlu ortamda yapılan hataların çoğunu tek başına önler.