Anüite (annuity), eşit aralıklarla ödenen eşit tutarlı ödemeler dizisidir: kira, kredi taksiti, süreli hak geliri. Değerlemeci anüiteyi iki yönde kullanır: eşit gelir dizisinin bugünkü değerini bulmak (süreli intifa geliri gibi) ve bir bugünkü değeri eşit taksitlere bölmek (kredi analizi gibi).
Anüitenin Bugünkü Değeri
Her yılın ödemesini tek tek indirgeyip toplamak yerine kapalı formül kullanılır:
Bir mülkün intifa hakkı 15 yıl sonra sona erecek; hak sahibi yılda net 1.200.000 TL gelir elde ediyor. Uygun oran %10 olsun:
Faktör = [1 − (1,10)⁻¹⁵] / 0,10 = [1 − 0,2394] / 0,10 = 7,606
Hak değeri = 1.200.000 × 7,606 = 9.127.200 TL
Süresiz olsaydı çarpan 1/0,10 = 10 olurdu (12.000.000 TL). Süre kısıtı, değeri yaklaşık dörtte bir azalttı. n büyüdükçe faktör 1/r'ye yaklaşır: 30 yıllık hak, süresizin %94'üne ulaşır — çok uzun süreli haklar pratikte süresiz gibi davranır.
Derinlemesine: Anüite Faktörü Nereden Gelir?
Faktör, teknik olarak bir geometrik serinin toplamıdır; ama kapalı biçimi görmek için seri toplamaya gerek yok. Değerleme diliyle çok daha doğal bir yol var. Bugün başlayan süresiz bir akımın değeri Ödeme/r'dir. Aynı akım n yıl ertelenirse — ilk ödeme (n+1)'inci yılda gelirse — bugünkü değeri (Ödeme/r) × (1+r)⁻ⁿ olur. İlk n yılın ödemeleri tam olarak bu ikisinin farkıdır:
Anüite, "bugün başlayan sonsuz eksi n yıl sonra başlayan sonsuz"dur. Bu okuma pratikte de iş görür: Örnek 1'deki 9.127.200 TL, süresiz değerin (12.000.000 TL) içinden 15 yıl sonra başlayacak ertelenmiş kısmın (12.000.000 × 0,2394 ≈ 2.872.800 TL) düşülmüş hâlidir. İntifa hakkı ile kuru mülkiyetin toplamının tam mülkiyeti vermesi, doğrudan bu ayrıştırmanın sonucudur.
Sınır durumları formülün karakterini gösterir. n sonsuza giderken (1+r)⁻ⁿ sıfırlanır ve faktör 1/r'ye, yani süresiz çarpana yaklaşır. r sıfıra giderken indirgeme ortadan kalkar ve faktör n'e yaklaşır — ödemelerin düz toplamı. Faktör daima bu iki tavanın altında kalır: hem n'den hem 1/r'den küçüktür. Bu, hızlı bir sağlama aracıdır: %10 ile 15 yıl için bulunan 7,606 hem 15'in hem 10'un altındadır; hesaptan 16 çıkıyorsa oran ile dönem birimi karışmış demektir.
Değişkenlerin ağırlığı da simetrik değildir. r = %10 için faktörün süreyle seyri:
| Süre (yıl) | 15 | 20 | 30 | ∞ |
|---|---|---|---|---|
| Faktör (r = %10) | 7,606 | 8,514 | 9,427 | 10,000 |
Süreyi 15 yıldan 30 yıla, yani iki katına çıkarmak değeri yalnızca %24 artırır; buna karşılık oranı %10'dan %12'ye taşımak faktörü 7,606'dan 6,811'e indirir — %10,5 kayıp. Uzun vadeli anüitelerde tartışılmaya değer değişken süre değil orandır; kısa vadede ise ilişki tersine döner ve süre baskınlaşır.
Ödemeler sabit değil de her dönem g oranında büyüyorsa faktör [1 − ((1+g)/(1+r))ⁿ] / (r−g) biçimini alır. r = g özel durumunda payda sıfırlanır ama formül "patlamaz"; limit n/(1+r)'dir — kapalı biçim değişir, değer sonlu kalır. Endeksli kira akımları bu büyüyen anüite ailesindendir ve aşağıda Türkiye pratiğinde tekrar karşımıza çıkacak.
Son bir nokta: formül her yöne çözülemez. Bugünkü değer, taksit ve n verilmişken r cebirsel olarak yalnız bırakılamaz; ancak iterasyonla bulunur. Bir kredinin masraflar dâhil gerçek dönemsel maliyetini hesaplarken yapılan tam olarak budur — elektronik tablolardaki oran fonksiyonları da içeride deneme-yanılma çalıştırır.
Eşit Taksit: Formülün Ters Yüzü
Kredi, bankanın size bugünkü değeri peşin verip anüiteyi geri almasıdır. Taksit, aynı formülün çevrilmişidir:
3.000.000 TL kredi, aylık %3,3 faiz (yıllık nominal ~%40), 120 ay:
Taksit = 3.000.000 × 0,033 / [1 − (1,033)⁻¹²⁰] = 3.000.000 × 0,033 / 0,9797 = ≈ 101.050 TL/ay
120 taksitin toplamı ≈ 12,1 milyon TL — kredinin dört katı. Yüksek faizde uzun vade, toplam geri ödemeyi hızla katlar; ilk yıllardaki taksitlerin neredeyse tamamı faizdir.
Amortisman Tablosunun Mantığı (Loan Amortization)
Her taksit iki parçadan oluşur: o ayın faizi (kalan borç × dönem faizi) ve anapara payı (taksit − faiz). Ay ilerledikçe faiz payı düşer, anapara payı büyür:
| Ay | Kalan Borç (başı) | Faiz (%3,3) | Anapara | Taksit |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3.000.000 | 99.000 | 2.050 | 101.050 |
| 2 | 2.997.950 | 98.932 | 2.118 | 101.050 |
| 60 | ≈ 2.639.600 | ≈ 87.110 | ≈ 13.940 | 101.050 |
| 120 | ≈ 97.820 | ≈ 3.230 | ≈ 97.820 | 101.050 |
İlk ayda taksitin %98'i faizdir. Bu, "5 yıl ödedim, borcun yarısı bitti" beklentisinin neden gerçekleşmediğini açıklar — 60. ayın başında bile borcun ancak %12'si erimiştir.
Tablonun pratikte en çok aranan çıktısı kalan borçtur ve tabloyu satır satır kurmadan da bulunur: herhangi bir andaki kalan borç, kalan taksitlerin kredi faiziyle indirgenmiş bugünkü değeridir.
İpotekli bir konut değerlenecek. Üzerinde Örnek 2'deki kredi var ve 60 taksit ödenmiş. Dosyayı hazırlayan analist kalan borcu orantıyla yazmış: "120 taksitin 60'ı ödendi; kalan borç 3.000.000 × 60/120 = 1.500.000 TL."
Doğrusu, kalan 60 taksitin bugünkü değeridir:
Kalan borç = 101.050 × [1 − (1,033)⁻⁶⁰] / 0,033 = 101.050 × 25,983 ≈ 2.625.600 TL
Fark 1.125.600 TL. Mülkün piyasa değeri 6.000.000 TL ise ipotek düşülmüş özkaynak 4.500.000 TL değil ≈ 3.374.400 TL'dir — orantı, özkaynağı üçte bir şişirmiştir. Hatanın kaynağı, taksit içindeki faiz/anapara dağılımını vade boyunca sabit varsaymaktır; oysa tablo gösteriyor: 60 ayda anapara payı taksitin %2'sinden ancak %14'üne çıkabilmiştir.
Hatanın boyutu faizle birlikte büyür. Aynı kredi aylık %1 faizle kullanılsaydı taksit ≈ 43.040 TL, 60 ödeme sonrası kalan borç ≈ 1.934.900 TL (anaparanın %64'ü) olurdu; %3,3'te ise kalan borç anaparanın %87,5 düzeyindedir. Faiz yükseldikçe anapara erimesi vade sonuna itilir ve doğrusal varsayım küçük bir sapma olmaktan çıkıp uçuruma dönüşür.
Ödeme Zamanlaması: Peşin Anüite
Standart formül, ödemelerin her dönemin sonunda geldiğini varsayar (ordinary annuity). Kira gibi dönem başında peşin tahsil edilen akımlarda (annuity due) her ödeme bir dönem öne kayar ve bugünkü değer bir dönemlik faiz kadar büyür:
10 yıllık kira sözleşmesi; yıllık 2.400.000 TL kira her yılın başında peşin ödeniyor, oran %10.
Dönem sonu faktörü = [1 − (1,10)⁻¹⁰] / 0,10 = [1 − 0,3855] / 0,10 = 6,1446 → BD = 2.400.000 × 6,1446 ≈ 14.747.000 TL
Peşin ödemede: 6,1446 × 1,10 = 6,7590 → BD = 2.400.000 × 6,7590 ≈ 16.221.700 TL
Fark tam olarak %10 — bir dönemlik faiz. Yıllık peşin ödenen bir akımı dönem sonu varsayımıyla indirgemek, değeri sistematik olarak yaklaşık %9 eksik gösterir (hesaplanan, doğru değerin 1/1,10'udur); bu, rapora taşınacak büyüklükte bir sapmadır. Aylık tahsilatta fark aylık oran kadardır ve çoğu zaman diğer belirsizliklerin gölgesinde kalır. Kural basittir: sözleşmedeki tahsilat zamanlaması okunmadan formül seçilmez.
Türkiye Pratiğinde
Yıllık %40'lara ulaşan enflasyon dönemlerinde sabit TL taksit, reel olarak hızla hafifler: Örnek 2'deki 101.050 TL'lik taksitin beş yıl sonraki alım gücü karşılığı, %40 enflasyon varsayımıyla 101.050 / (1,40)⁵ ≈ 18.800 TL'dir. Bankanın yüksek nominal faiz istemesinin nedeni tam budur: faiz, beklenen enflasyonun fiyatını içerir (Fisher ilişkisi). Aynı mekanizma kredinin yükünü zamana asimetrik dağıtır — sabit taksitli kredi ilk yıllarda ezer, vade sonuna doğru önemsizleşir. Hane halkı davranışında gözlenen "ilk iki yılı atlatma" refleksi bu asimetrinin doğrudan sonucudur.
İkinci bükülme kira tarafındadır. Türkiye'de kira sözleşmeleri fiilen TÜFE'ye endekslidir; dolayısıyla kira akımı sabit anüite değil, büyüyen anüitedir. Endeksli akımı sabit anüite formülüne sokmak iki yanlıştan birine götürür: akım sabit tutulup nominal oranla indirgenirse değer sistematik düşük çıkar; bunu telafi etmek için oran elle aşağı çekilirse denetlenemeyen bir ayar doğar. Tutarlı iki yol vardır: akımları endeksleyip nominal oranla indirgemek ya da akımları bugünkü kira düzeyinde sabit tutup reel oranla indirgemek. Fisher çevrimi doğru yapıldığında iki yol aynı değeri verir; akım ile oranın aynı temelde eşleşmesi, uluslararası değerleme standartlarının (IVS) gelir yaklaşımında ısrarla vurguladığı tutarlılık ilkesidir.
Üçüncü bükülme gösterim karmaşasıdır. Sahada faiz üç ayrı kılıkta dolaşır: bankanın ilan ettiği aylık akdî oran, bunun 12 katı olan yıllık "nominal" oran ve bileşiklenmiş yıllık efektif oran. Örnek 2'nin aylık %3,3'ü yıllık nominal %39,6 diye anons edilir; oysa efektif yıllık karşılığı (1,033)¹² − 1 ≈ %47,6'dır ve vergi-fon kesintileri eklendiğinde toplam maliyet bunun da üstüne çıkar. TCMB'nin yayımladığı ağırlıklı ortalama kredi faizleri akdî oran üzerinden izlenir; farklı kaynaklardan gelen oranlar karşılaştırılmadan önce aynı cetvele, tercihen yıllık efektife çevrilir.
Rapora yansıması: SPK düzenlemelerine tabi değerleme raporlarında süreli hak değerlemesi (intifa, üst hakkı) tipik anüite uygulamasıdır ve üç noktanın açıkça yazılması sonradan çıkacak tartışmayı baştan keser — gelirin sabit mi endeksli mi olduğu, oranın nominal mi reel mi olduğu ve tahsilatın dönem başı mı sonu mu yapıldığı. Uzun vadeli analizlerde TL oranların oynaklığı nedeniyle akımı döviz cinsinden kurup dövize uygun oranla indirgemek de yerleşik bir saha pratiğidir; burada da kural değişmez, akımın para birimi ile oranın para birimi eşleşir.
Dönem uyumsuzluğu. Aylık akımı yıllık oranla (ya da tersini) indirgemek. En eski ve en pahalı hata; faiz ile dönem sayısı daima aynı birimde olmalıdır.
Nominali 12'ye bölüp efektif sanmak. Yıllık nominal %39,6 ile yıllık efektif %47,6 aynı kredinin iki farklı fotoğrafıdır; hangisinin kullanıldığı yazılmadan taşıma kapasitesi analizi yapılmaz.
Kalan borcu orantıyla yazmak. Vadenin yarısı geçince borcun yarısı bitmez (Örnek 3); kalan borç, kalan taksitlerin bugünkü değeridir.
Peşin akımı dönem sonu varsayımıyla indirgemek. Yıllık peşin kirada yaklaşık %9 sistematik eksik değerleme (Örnek 4); tahsilat zamanlaması sözleşmeden okunur.
Endeksli akımı sabit anüiteye sokmak. TÜFE'ye endeksli kira büyüyen anüitedir; sabit formülle indirgenirse değer düşük, orana el ayarı yapılırsa dayanaksız çıkar.
Brüt kirayı anüiteleştirmek. İntifa değerlemesinde işletme giderleri, vergiler ve boşluk payı düşülmeden brüt kira faktörle çarpılırsa hak değeri şişer; formüle giren daima net gelirdir.
Çözümlü Alıştırma
Soru 1. Bir arsa üzerinde 20 yıl kalıntı süreli üst hakkı bulunuyor; hak sahibinin yıllık net geliri 900.000 TL (yıl sonu tahsil), uygun oran %12. Hakkın değeri nedir ve süre kısıtı, süresiz duruma göre değeri yüzde kaç azaltmıştır?
Çözümü göster
(1,12)²⁰ = 9,6463 → (1,12)⁻²⁰ = 0,1037
Faktör = [1 − 0,1037] / 0,12 = 7,4694
Hak değeri = 900.000 × 7,4694 ≈ 6.722.500 TL
Süresiz olsaydı: 900.000 / 0,12 = 7.500.000 TL. Süre kısıtı değeri yaklaşık %10,4 azaltmıştır. 20 yıl, %12 gibi yüksek bir oranda süresizin %90'ına ulaşır — Örnek 1'deki gözlemin bir başka teyidi: oran yükseldikçe uzak yıllar zaten değerini yitirir, süre kısıtının maliyeti küçülür.
Soru 2. 2.000.000 TL tutarında, aylık %2,75 faizli, 96 ay vadeli kredi kullanılıyor. (a) Aylık taksit nedir? (b) 48. taksit ödendikten sonra kalan borç nedir ve anaparanın yüzde kaçıdır?
Çözümü göster
(a) (1,0275)⁹⁶ = 13,5225 → (1,0275)⁻⁹⁶ = 0,0740
Faktör = [1 − 0,0740] / 0,0275 = 33,675
Taksit = 2.000.000 / 33,675 ≈ 59.392 TL/ay (toplam geri ödeme ≈ 5,7 milyon TL)
(b) Kalan borç, kalan 48 taksitin bugünkü değeridir: (1,0275)⁻⁴⁸ = 0,2719 → faktör = [1 − 0,2719] / 0,0275 = 26,475
Kalan borç = 59.392 × 26,475 ≈ 1.572.400 TL — anaparanın %78,6'sı.
Vadenin yarısı geçmiş, borcun beşte dördü yerinde duruyor: amortisman eğrisinin tipik davranışı. Doğrusal orantı burada 1.000.000 TL derdi ve 572.400 TL yanılırdı.
Anüite faktörü, süreli hak değerlemesinin (intifa, üst hakkı) kalbidir: gelir sonsuz olmadığında süresiz çarpan 1/r yerine faktör kullanılır. Ayrıca ipotekli portföy analizinde ve gelir yönteminde kredi taşıma kapasitesi (bkz. Oran Sözlüğü dersindeki DSCR) hesaplarında karşınıza çıkar. Kalıntı süre kısaldıkça değerin doğrusal değil, giderek hızlanan biçimde düştüğünü unutmayın.
Özet: Anüite faktörü [1−(1+r)⁻ⁿ]/r, eşit ödemeler dizisini tek sayıya indirger; "bugün başlayan sonsuz eksi n yıl sonra başlayan sonsuz"dur. Süresiz çarpan 1/r bunun n→∞ hâli, dönem sayısı n ise r→0 hâlidir. Taksit aynı formülün tersi; kalan borç, kalan taksitlerin aynı faizle indirgenmiş bugünkü değeridir — asla doğrusal orantı değil. Peşin tahsil edilen akımda faktör (1+r) ile çarpılır; endeksli akım sabit değil büyüyen anüitedir. Faiz ve dönem daima aynı birimde (aylık-aylık, yıllık-yıllık) kullanılır — en sık hata budur.